Могу ли я оформить выход из СИЗО под свое поручительство для моего сына?

Вы можете ходотайствовать об измерении меры пресечения на более мягкую перед органом иои должностным лицом, которые вынесли решение о заключении под стражу, например на домашний арест.
Статья 110. Отмена или изменение меры пресечения

КонсультантПлюс: примечание.
О выявлении конституционно-правового смысла части первой статьи 110 см. Постановление Конституционного Суда РФ от 22.03.2005 N 4-П.
1. Мера пресечения отменяется, когда в ней отпадает необходимость, или изменяется на более строгую или более мягкую, когда изменяются основания для избрания меры пресечения, предусмотренные статьями 97 и 99 настоящего Кодекса.
1.1. Мера пресечения в виде заключения под стражу также изменяется на более мягкую при выявлении у подозреваемого или обвиняемого в совершении преступления тяжелого заболевания, препятствующего его содержанию под стражей и удостоверенного медицинским заключением, вынесенным по результатам медицинского освидетельствования. Перечень тяжелых заболеваний, препятствующих содержанию под стражей подозреваемых и обвиняемых в совершении преступлений, порядок их медицинского освидетельствования и форма медицинского заключения утверждаются Правительством Российской Федерации. Решение об изменении меры пресечения в виде заключения под стражу принимается дознавателем, следователем или судом, в производстве которых находится уголовное дело, не позднее 3 суток со дня поступления к ним из мест содержания под стражей копии медицинского заключения.
(часть 1.1 введена Федеральным законом от 29.12.2010 N 434-ФЗ; в ред. Федерального закона от 01.07.2017 N 137-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
КонсультантПлюс: примечание.
О выявлении конституционно-правового смысла части второй статьи 110 см. Постановление Конституционного Суда РФ от 22.03.2005 N 4-П.
2. Отмена или изменение меры пресечения производится по постановлению дознавателя, следователя или судьи либо по определению суда.
(в ред. Федерального закона от 05.06.2007 N 87-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
3. Мера пресечения, избранная в ходе досудебного производства следователем с согласия руководителя следственного органа либо дознавателем с согласия прокурора, может быть отменена или изменена только с согласия этих лиц.
(часть третья в ред. Федерального закона от 05.06.2007 N 87-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)